(4) Vrijdag de dertiende
♦ ♦ ♦ ♦
Vrijdag de dertiende: een bekend begrip. Voor de één een dag om in bed te blijven, voor de ander bijgeloof.
Voor welke weekdag is nu de kans het grootst dat de 13e van een willekeurige maand in een willekeurig jaar op die weekdag valt? En hoe groot is die kans dan? Of maakt het allemaal niets uit?
Hint: De schrikkeljaarregel is: elk jaar deelbaar door 4 is een schrikkeljaar, behalve eeuwjaren die niet deelbaar zijn door 400
Antwoord
In een periode van 400 jaar, wordt de cyclus van weekdagen 1 keer doorlopen (deze periode kan niet korter zijn vanwege de vreemde schrikkeljaarregel; en de periode hoeft niet langer te zijn omdat een periode van 400 jaar, 400 × 365 = 146000 normale dagen heeft plus 100 – 3 = 97 schrikkeldagen, wat 146097 dagen in totaal geeft, wat deelbaar is door 7). We hoeven dus alleen te kijken naar de waarschijnlijkheid in een periode van 400 jaar, bijvoorbeeld de jaren 2001 tot en met 2400.
Als in een normaal jaar 13 januari op weekdag x valt, dan is de verdeling van de 13e dagen over de dagen van de week als volgt:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
2 1 1 3 1 2 2
Als in een schrikkeljaar 13 januari op weekdag x valt, dan is de verdeling van de 13e dagen over de dagen van de week als volgt:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
3 1 1 2 2 1 2
Voor de daarop opvolgende jaren, verschuift deze verdeling steeds cyclisch 1 plaats op naar rechts voor normale jaren, en 2 plaatsen naar rechts voor schrikkeljaren.
Voor drie normale jaren, gevolgd door een schrikkeljaar, kunnen we nu de verdeling van de 13e dagen berekenen:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
2 1 1 3 1 2 2 (normaal jaar,
niet verschoven)
2 2 1 1 3 1 2 (normaal jaar, 1 plaats naar rechts verschoven)
2 2 2 1 1 3 1
(normaal jaar, 2 plaatsen naar rechts verschoven)
+ 2 1 2 3 1 1 2 (schrikkeljaar, 3 plaatsen naar rechts verschoven)
———————————–
8 6 6 8 6 7 7 (3 normale jaren en 1 schrikkeljaar, niet verschoven)
Voor vier normale jaren vinden we:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
2 1 1 3 1 2 2 (normaal jaar, niet
verschoven)
2 2 1 1 3 1 2 (normaal jaar, 1 plaats naar rechts verschoven)
2 2 2 1 1 3 1 (normaal
jaar, 2 plaatsen naar rechts verschoven)
+ 1 2 2 2 1 1 3 (normaal jaar, 3 plaatsen naar rechts verschoven)
———————————–
7 7 6 7 6 7 8 (4 normale jaren, niet verschoven)
In vier jaar verschuiven de laatste twee verdelingen 5 plaatsen cyclisch naar rechts. Dus voor een periode van 16 jaar met 4 schrikkeljaar, vinden we:
x
x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
8 6 6 8 6 7 7 (3 normale jaren en 1 schrikkeljaar, niet verschoven)
6 8 6 7
7 8 6 (3 normale jaren en 1 schrikkeljaar, 5 plaatsen naar rechts verschoven)
6 7 7 8 6 6 8 (3 normale jaren en 1
schrikkeljaar, 10 plaatsen naar rechts verschoven)
+ 7 8 6 6 8 6 7 (3 normale jaren en 1 schrikkeljaar, 15 plaatsen naar
rechts verschoven)
———————————–
27 29 25 29 27 27 28 (16 normale jaren en 4 schrikkeljaren, niet
verschoven)
Voor een periode van 100 jaar met 24 schrikkeljaren (de jaren 2001-2100, 2101-2200, en 2201-2299), kunnen we nu de verdeling van de 13e dagen uitrekenen:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
27 29 25 29 27 27 28 (16 jaren met 4
schrikkeljaren, niet verschoven)
29 25 29 27 27 28 27 (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 20 plaatsen naar rechts verschoven)
25
29 27 27 28 27 29 (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 40 plaatsen naar rechts verschoven)
29 27 27 28 27 29 25 (16 jaren
met 4 schrikkeljaren, 60 plaatsen naar rechts verschoven)
27 27 28 27 29 25 29 (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 80 plaatsen naar
rechts verschoven)
27 28 27 29 25 29 27 (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 100 plaatsen naar rechts verschoven)
+ 8 7 7
6 7 6 7 (4 normale jaren, 120 plaatsen naar rechts verschoven)
———————————–
172 172 170 173 170 171
172 (100 jaar met 24 schrikkeljaren, niet verschoven)
Voor een periode van 100 jaar met 25 schrikkeljaren (de jaren 2301-2400), kunnen we nu de verdeling van de 13e dagen uitrekenen:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
27 29 25 29 27 27 28 (16
jaren met 4 schrikkeljaren, niet verschoven)
29 25 29 27 27 28 27 (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 20 plaatsen naar rechts
verschoven)
25 29 27 27 28 27 29 (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 40 plaatsen naar rechts verschoven)
29 27 27 28 27
29 25 (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 60 plaatsen naar rechts verschoven)
27 27 28 27 29 25 29 (16 jaren met 4
schrikkeljaren, 80 plaatsen naar rechts verschoven)
27 28 27 29 25 29 27 (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 100 plaatsen naar rechts
verschoven)
+ 7 8 6 6 8 6 7 (3 normale jaren en 1 schrikkeljaar, 120 plaatsen naar rechts verschoven)
———————————–
171 173 169 173 171 171 172 (100 jaar met 25 schrikkeljaren, niet verschoven)
Nu kunnen we de verdeling van de 13e dagen voor de periode van 2001 tot 2400 berekenen:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
172 172
170 173 170 171 172 (100 jaren met 24 schrikkeljaren, niet verschoven)
170 173 170 171 172 172 172 (100 jaren met 24
schrikkeljaren, 124 plaatsen naar rechts verschoven)
170 171 172 172 172 170 173 (100 jaren met 24 schrikkeljaren, 248 plaatsen naar
rechts verschoven)
+ 172 171 173 169 173 171 171 (100 jaren met 25 schrikkeljaren, 372 plaatsen naar rechts verschoven)
————————————
684 687 685 685 687 684 688 (400 jaren, niet verschoven)
Omdat 13 januari 2001 (x in de verdeling) op een zaterdag valt, krijgen we de volgende verdeling van de 13e dagen over de dagen van de week:
zaterdag: 684/4800
zondag: 687/4800
maandag: 685/4800
dinsdag: 685/4800
woensdag: 687/4800
donderdag: 684/4800
vrijdag: 688/4800
Conclusie: de kans dat de 13e van een willekeurige maand een vrijdag is, is het hoogste.
