(4) Gastvrije wiskunde
♦ ♦ ♦ ♦
Stel je een gigantisch groot hotel voor met oneindig veel kamers, genummerd 1,2,3 etc. Het hotel is vol, maar er komt opeens een touringcar met 50 uitgeputte toeristen aanrijden. Kun je een goede oplossing verzinnen?
Antwoord
Zo’n hotel met oneindig veel kamers wordt een Hilberthotel genoemd, naar de Duitse wiskundige David Hilbert (1862 – 1943). Laten we simpel beginnen: er komt één nieuwe gast binnen. Het hotel heeft geen enkele lege kamer over, toch past deze nieuwe gast erbij. De manager roept namelijk door de intercom dat alle gasten een kamer op moeten schuiven. De gast in kamer 1 verhuist naar kamer 2, die in kamer 2 naar kamer 3, enzovoort. Nu is er in kamer 1 plaats voor de nieuwe gast. Op dezelfde manier kun je natuurlijk 50 nieuwe gasten herbergen: alle andere gasten moeten gewoon 50 kamers doorschuiven, dus kamer k verhuist naar kamer k + 50. Met andere getallen dan 50 gaat het net zo.
Maar stel nu dat naast het Hilberthotel een ander Hilberthotel ligt, dat in brand staat. Alle gasten moeten geëvacueerd worden. Passen ze allemaal in het eerste Hilberthotel? Een eindig aantal plaatsen opschuiven is niet voldoende, en een oneindig aantal plaatsen opschuiven kan niet. In dit geval stuurt de manager kamer k naar kamer 2k. Dan zijn alle oneven kamers vrij. Alle geëvacueerde gasten kunnen er precies bij. Puzzeltje: hoe gaat het met een oneindig aantal brandende Hilberthotels?
