(3) Smeltende Sneeuwballen
♦ ♦ ♦
Afgelopen winter maakte iemand twee sneeuwballen, waarvan de ene een twee keer zo grote diameter had als de andere. Het weer werkte echter niet mee, en de sneeuwballen begonnen dus al snel te smelten. Het smelten vond alleen plaats aan het oppervlak van de ballen, dus de snelheid waarmee een bal smolt was evenredig met de oppervlakte van (het restant van) de bal.
Toen van de grote sneeuwbal het halve volume was gesmolten, hoeveel was er toen nog over van de kleine sneeuwbal?
Antwoord
Laat r1(t) de straal zijn van de kleinste bal (bal 1) op tijdstip t.
Laat r2(t) de straal zijn van de grootste bal (bal 2) op tijdstip t.
Laat r0 = r1(0) zijn.
Dan geldt r2(0) = 2 × r0. De oppervlakte Ai(t) van bal i op tijdstip t is gelijk aan
4 × pi × (ri(t))2
waarbij de inhoud Vi(t) van bal i op tijdstip t gelijk is aan
4/3 × pi × (ri(t))3.
Er geldt:
d Vi(t) / dt = – k × Ai(t)
dus
d [4/3 × pi × (ri(t))3] / dt = – k × [4 × pi × (ri(t))2]
voor een zekere smeltfactor k onafhankelijk van i. Dit levert
4 × pi × (ri(t))2 × [d ri(t) / dt] = – k × 4 × pi × (ri(t))2
dus
[d ri(t) / dt] = – k
dus
ri(t) = ri(0) – k × t.
Stel dat op tijdstip th het halve volume van bal 2 is gesmolten, dus
4/3 × pi × (r2(th))3 = 0.5 × 4/3 × pi × (r2(0))3
dus
(r2(th))3 = 0.5 × (r2(0))3
dus
(2 × r0 – k × th)3 = 4 × (r0)3.
Dan geldt:
k × th = 2 × r0 – 4(1/3) × r0.
Op dat tijdstip th geldt voor de kleine bal (bal 1):
r1(th) = r0 – k × th
= r0 – (2 × r0 – 4(1/3) × r0)
= 4(1/3) × r0 – r0
= (4(1/3) – 1) × r0.
Het volume van bal 1 is op dat moment:
V1(t) = 4/3 × pi × (r1(t))3
= 4/3 × pi × ((4(1/3) – 1) × r0)3
= (4/3 × pi × r03) × (4(1/3) – 1)3
= (4(1/3) – 1)3 × V1(0)
dus het volume van bal 1 op dat moment is nog maar (4(1/3) – 1)3 × 100% van het oorspronkelijke volume. Dit is ongeveer 20.27%.
